铁木辛柯梁理论

铁木辛柯梁理论，模型考虑了剪切变形和旋转弯曲效应，使其适用于描述厚梁、夹层复合梁或在波长接近梁厚度时受到高频激励的梁的行为。 得到的方程是四阶的，但与欧拉-伯努利梁理论不同的是，还存在二阶偏导数。 从物理上讲，考虑到附加的变形机制会有效降低梁的刚度，而结果是在静态载荷下的挠度更大，并且对于给定的一组边界条件，预测的特征频率更低。 随着波长变短,，后一种效果对于更高的频率更明显，因此相反的剪切力之间的距离减小。

如果梁材料的剪切模量接近无穷大——因此梁在剪切中变得刚性——并且如果旋转惯性效应被忽略。

在没有轴向影响的静态 Timoshenko 梁理论中，假设梁的位移由下式给出

u x ( x , y , z ) = − z φ ( x ) ; u y ( x , y , z ) = 0 ; u z ( x , y ) = w ( x )，

其中 ( x , y , z ) 是光束中一点的坐标，u x , u y , u z 是位移矢量在三个坐标方向的分量， φ是法线到梁中面的旋转角度， w  是中间面在 z 方向的位移。

• L 是梁的长度。
• A 是横截面积。
• E 是弹性模量。
• G是剪切模量。
• I是面积的二次矩。
• κ ，称为 Timoshenko 剪切系数，取决于几何形状。 通常，矩形截面的 κ = 5 / 6。
• q ( x ) 是分布载荷（单位长度的力）。

梁中的弯矩 M x x 和剪力 Q x  与位移 w 和旋转 φ。 对于线性弹性 Timoshenko 梁，这些关系是：

M x x = − E I ∂ φ ∂ x 和 Q x = κ A G ( − φ + ∂ w ∂ x ) 。

如果要求解描述 Timoshenko 梁变形的两个方程，则必须增加边界条件。 要使问题适定，需要四个边界条件。 典型的边界条件是：

• 简支梁：位移 w 在两个支撑的位置为零。 施加在梁上的弯矩 M x x 也必须指定。 未指定旋转 φ和横向剪切力 Q x
• 夹紧梁：位移 w 和旋转 φ 在夹紧端指定为零。 如果一端是自由的，剪切力 Q x