卡氏定律

卡氏定律，以 Carlo Alberto Castigliano 的名字命名，是一种基于能量的偏导数确定线性弹性系统位移的方法。 他以他的两个定理而闻名。 通过回忆能量的变化等于引起的力乘以产生的位移，这个基本概念可能很容易理解。 因此，引起的力等于能量的变化除以产生的位移。 或者，由此产生的位移等于能量变化除以引起的力。 需要偏导数来将引起的力和产生的位移与能量的变化联系起来。

• 卡斯蒂利亚诺xxx定理 – 弹性结构中的力

用于计算力的卡氏定律是他的xxx个定理的应用，该定理指出：

如果弹性结构的应变能可以表示为广义位移 qi 的函数，则应变能对广义位移的偏导数给出广义力 Qi。

在方程式中，

Q i = ∂ U ∂ q i {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial q_{i}}}}

其中 U 是应变能。

如果力-位移曲线是非线性的，则需要使用互补应变能代替应变能。

• 卡斯蒂利亚诺第二定理 – 用于线性弹性结构中的位移。

用于计算位移的卡氏定律是他的第二定理的应用，该定理指出：

如果线弹性结构的应变能可以表示为广义力 Qi 的函数，则应变能对广义力的偏导数给出 Qi 方向的广义位移 qi。

如上所述，这也可以表示为：

q i = ∂ U ∂ Q i 。 {\displaystyle q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial Q_{i}}}.}

对于末端负载 P 的细直悬臂梁，末端的位移 δ {\displaystyle \delta } 可以通过 Castigliano 的第二定理

其中 E {\displaystyle E} 是杨氏模量，I {\displaystyle I} 是横截面面积的二次矩，M ( x ) = P x {\displaystyle M(x) =Px} 是距离端点 x {\displaystyle x} 处的内力矩表达式。

结果是悬臂梁在端部载荷下的标准公式。