陀螺

陀螺是绕轴旋转的（刚体）体。它可以自由移动（自由陀螺），但也可以在某个方向上受到轴的约束（绑定陀螺）。陀螺在物理学上不一定非要旋转对称。

陀螺或陀螺仪（希腊语）也用于描述执行与陀螺仪器类似任务的测量仪器，即使它们不包含旋转陀螺。例如激光陀螺仪、光纤陀螺仪或振动陀螺仪。

儿童玩具陀螺也作为儿童玩具，在一个表面上绕垂直轴旋转，然后在同一方向保持一段时间，陀螺在表面上四处游荡（玩具陀螺的例子）。陀螺是考古遗址中发现的最古老的玩具之一。除了作为玩具，陀螺在历史上还被用于赌博和占 卜。

• 工程中的轴稳定性, 陀螺用于稳定和导航，因为角动量的方向在没有扭矩作用时保持不变。其原因是角动量守恒。如果旋转轴与角动量的方向重合，则也不改变。
• 作为能量存储。

当安装在万向架上时，围绕其图形轴旋转的陀螺保持其在空间中的方向，即使承载框架被扭曲也是如此。 通过悬架的轴承摩擦作用的少量扭矩产生可忽略不计的小角动量变化，不会导致旋转轴发生可观察到的变化。 与静止的陀螺相比，需要较大的外部力矩来改变方向。

此外，可以观察到：如果试图倾斜旋转陀螺的旋转轴，则可以记录垂直于旋转轴倾斜方向的力。 陀螺旋转得越快，产生的力（也称为陀螺力）就越大。 这可以用陀螺的高角动量来解释，它必须改变方向。它的变化发生在旋转轴倾斜的方向上，需要在倾斜平面内的扭矩。 要施加的扭矩导致垂直于倾斜方向施加力。

相反，垂直于旋转陀螺的扭矩不会导致它改变绕扭矩轴的方向，而是在扭矩轴的方向上倾斜。

陀螺行为的解释在计算上可能是合乎逻辑的，但角动量本身并不是一个非常明确的量。 因此，为了检查过程的合理性，现在假设一个物体被包围在陀螺中。 只要陀螺绕着自己的身形轴稳定旋转，它只需要对封闭体施加一个向心力即可。

当陀螺的旋转轴倾斜并分析身体的运动时，它变得令人兴奋。 然后封闭的物体也沿倾斜方向移动，但不断改变侧面并因此改变其运动方向，即其速度。

在垂直于倾斜平面的方向上，封闭体进行正弦振荡。这意味着在顶点和“零交叉”处有一个静止点，当改变倾翻侧时，“倾翻速度”的变化最 大，因此发生最 大的力效应。 所以陀螺想在倾斜的时候向侧面突围。

如果陀螺的角速度 ω 明显大于倾斜角速度 Ω，则应用以下近似计算。 角动量 d L → 的变化是由角度 dφ 和倾斜轴方向 e → Ω 根据以下公式。 叉积意味着只有垂直于倾斜轴 e → Ω 的角动量分量才有意义。 忽略平行于倾斜轴的部分。

角度 dφ 随时间 dt 的变化也表示倾斜角速度 Ω. 在下一步中，将角动量的变化插入欧拉角动量定律。 所产生的扭矩 M 由陀螺参数旋转速率 ω 和图形轴的惯性矩 I 以及倾斜角速度 Ω 得出。

惯性矩是陀螺在不围绕其主要惯性轴之一旋转时改变其旋转轴的尝试的量度。

陀螺运动的推广源于角动量定律。 角动量 L →由惯性张量 I¯  和角速度 ω →  的陀螺。 正如平移运动的质量表示物体加速的“难”程度一样，旋转运动的惯性张量描述了改变陀螺的旋转有多“难”。 陀螺绕各个旋转轴旋转的惯性矩总结在惯性张量中，如果用它随时间的导数来计算角动量的变化，则结果为：

M → = L → ˙ = d d t ( I ¯ ⋅ ω → ) = ω → × ( I ¯ ⋅ ω → ) + I ¯ ω → ˙

通过旋转到惯性张量形成对角矩阵的参考系统，向量的各个分量可以重新表示为一个特别简单的微分方程组。 它们以发现者莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 的名字命名为欧拉 (Euler) 方程。

按属性：

• 在一个对称的陀螺中，至少有两个主惯性矩是相同的。 本组包括旋转对称的玩具陀螺或两侧等长的长方体。 它的一个主轴与图形的轴重合。 垂直于它，通过它的重心，它有无数条相等的赤道主轴。 对称陀螺的惯性椭球总是旋转对称的。
• 在扁平的陀螺或扁圆的陀螺（如圆盘）中，地轴的转动惯量大于赤道轴。 (I1 = I2 < I3)
• 另一方面，延长的陀螺或延长的陀螺（例如杆）在图形轴方向上的惯性矩比在其他轴上的惯性矩小。 (I1 = I2 > I3)
• 对于球形陀螺，所有三个主惯性矩都相等。 例子是立方体和球。 球体也有无数个相等的主轴。 (I1 = I2 = I3)
• 如果存在三个不同的主惯性矩，则称为不对称陀螺。

暂停后：

• 如果没有外部力矩作用在陀螺上，则陀螺是无力的； 也就是说，重心以外的所有外力必须相互抵消。 为此，陀螺的接触点必须正好在陀螺的重心下方，作为云台悬挂（重心在云台中心），或者作为小剪陀螺（直接支撑在中心下面挖空的陀螺身体的重力）。
• 无力对称陀螺的运动方程比重陀螺更容易求解。 它的运动通常包括自转和章动。在章动中，角动量和瞬时旋转轴具有不同的方向。
• 当惯性力矩是有方向的（惯性力矩不完全相等）并且旋转不围绕主惯性力矩的轴时，就会发生这种情况。如果陀螺不对称，会导致更复杂的动作。

• 相反的是沉重的陀螺：例如，如果玩具陀螺呈一定角度，重力会试图将其翻倒。 由于产生的扭矩垂直于角动量，因此角动量仅改变方向。 陀螺绕着通过支撑点的轴垂直向上旋转。 这种旋转称为进动。 运动方程只能近似求解（尤其是快速陀螺）。