达朗贝尔原理

达朗贝尔原理，也称为拉格朗日-达朗贝尔原理，是对基本经典运动定律的陈述。 它以其发现者、法国物理学家和数学家让·勒朗·达朗贝尔的名字命名。 达朗贝尔原理通过引入惯性力将虚功原理从静态系统推广到动态系统，当将惯性力添加到系统中的作用力时，会导致动态平衡。

该原理不适用于不可逆位移，例如滑动摩擦，需要对不可逆性进行更一般的说明。 达朗贝尔原理比哈密顿原理更普遍，因为它不限于仅依赖于坐标和时间而不依赖于速度的完整约束。

该原理指出，作用在大质量粒子系统上的力与系统本身的动量的时间导数之间的差异之和投射到与系统约束一致的任何虚拟位移上为零。 因此，在数学符号中，d'Alembert's principle 写成如下， (\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf { v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}

在哪里：

• i {\displaystyle i} 是一个整数，用于指示（通过下标）对应于系统中特定粒子的变量，
• F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个粒子上的总作用力（不包括约束力），
• m i {\displaystyle m_{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个粒子的质量，
• v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个粒子的速度，
• δ r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个粒子的虚拟位移，符合约束条件。

牛顿的点符号用于表示相对于时间的导数。 上面的方程通常被称为达朗贝尔原理，但它最初是由约瑟夫·路易斯·拉格朗日以这种变分形式写成的。 达朗贝尔的贡献是证明在一个动态系统的整体中，约束力消失了。 也就是说广义力 Q j {\displaystyle \mathbf {Q} _{j}} 不需要包括约束力。 相当于比较麻烦的高斯最小约束原理。

达朗贝尔原理的一般性陈述提到了系统动量的时间导数。 根据牛顿第二定律，动量的一阶时间导数就是力。 第 i {\displaystyle i} 个质量的动量是其质量和速度的乘积： p i = m i v i {\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v } _{i}} 其时间导数为 p ˙ i = m ˙ i v i + m i v ˙ i 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{ \点 {\mathbf {v} }}_{i}.}

在许多应用中，质量是恒定的，这个等式简化为 p ˙ i = m i v ˙ i = m i a i 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\ mathbf {a} _{i}.}

然而，一些应用涉及改变质量（例如，链条被卷起或被展开）并且在这些情况下这两项 m ˙ i v i {\displaystyle {\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}} 和 m i v ˙ i {\displaystyle m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}} 必须保持存在，给出 ∑ i ( F i − m i a i − m ˙ i v i ) ⋅ δ r i = 0. {\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\ 点 {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}

考虑质量恒定的粒子系统 i {\displaystyle i} 的牛顿定律。 每个粒子的总力为 F i ( T ) = m i a i , {\displaystyle \mathbf {F} _{i}{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}, } 在哪里

• F i ( T ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}{(T)}} 是作用在系统粒子上的总力，
• m i a i {\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}} 是由总力产生的惯性力。

将惯性力向左移动给出了一个可以被认为代表准静态平衡的表达式，但它实际上只是牛顿定律的一个小代数运算：F i ( T ) − m i a i = 0 。 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .}

考虑虚功 δ W {\displaystyle \delta W} ，由总力和惯性力一起通过任意虚位移完成， δ r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i} } ，系统导致零身份，因为每个粒子所涉及的力总和为零。