截面二次轴矩

面积二阶矩，也称为面积惯性矩，是面积的几何特性，反映了其点相对于任意轴的分布情况。 面积二阶矩通常用 I或 J 表示 . 在这两种情况下，它都是通过对相关对象的多重积分来计算的。 它的维度是L（长度）的四次方。 当使用国际单位制时，它的尺寸单位是米的四次方 m4，或英寸的四次方 in4，当使用英制单位制时。

在结构工程中，梁的截面二次矩是用于计算梁的挠度和计算施加在梁上的力矩引起的应力的重要属性。 为了最大化面积的二次矩，工字梁横截面积的大部分位于距工字梁横截面质心的xxx可能距离处。 面积的平面二阶矩提供了对梁由于施加的力矩、力或垂直于其中性轴的分布载荷的弯曲阻力的深入了解，作为其形状的函数。 面积的极坐标二阶矩提供了对梁的抗扭转偏转的洞察力，这是由于平行于其横截面的应用力矩，作为其形状的函数。

不同的学科使用术语惯性矩 (MOI) 来指代不同的时刻。 它可以指面积的平面二阶矩，或面积的极二阶矩 ，其中 r 是到某个参考轴的距离）。 在每种情况下，积分都是在某些二维横截面中面积 dA 的所有无穷小元素上。 在物理学中，惯性矩严格来说是质量相对于距轴距离的二次矩： I = ∫ Q r 2 d m ，其中 r 是到某个潜在旋转轴的距离，积分是在物体 Q 占据的三维空间中质量的所有无穷小元素 dm。从这个意义上说，MOI 是旋转问题的质量模拟 . 在工程中，惯性矩通常指的是面积的二次矩。

任意形状 R 相对于任意轴 B B ′的二次面积矩定义为 J B B ′ = ∬ R ρ 2 d A 其中

• d A是无穷小面积元素，而
• ρ 是与轴 B B ′的垂直距离。

例如，当所需的参考轴是 x 轴时，面积的二阶矩 I x x 可以计算为 笛卡尔坐标为

I x = ∬ R y 2 d x d y

该区域的二次矩在细长梁的欧拉-伯努利理论中至关重要。

更一般地，面积积矩定义为 I x y = ∬ R y x d x d y

有时需要计算形状相对于不同于形状质心轴的 x  轴的面积二次矩。 然而，通常更容易导出相对于其质心轴 x {\displaystyle x} 的面积二阶矩，并使用平行轴定理导出相对于 x ′  轴。 平行轴定理指出 I x ′ = I x + A d 2 其中

• A是形状的面积，
• d 是 x 和 x ′轴之间的垂直距离。

关于 y ′轴和平行质心 y轴，可以做出类似的陈述。 或者，一般来说，任何质心 B 轴和平行 B  轴。

为了简化计算，通常需要根据两个面积惯性矩（均相对于面内轴）来定义面积的极矩（相对于垂直轴）。 最简单的情况将 J z 与 I x 和 I y 联系起来。